Le marathon de Paris (5)

Baptiste : Écoute, on fait simple, pour savoir combien j'ai couru en tout, j'additionne le nombre de kilomètres courus chaque jour : \(20 + 21{,}5 + 23 ~+ ~...\)

Inès : On n'a pas le temps, c'est très long à faire, je te le dis. Tu vas parcourir en tout \(500\) km.

Baptiste : Autant ??? Mais tu as dit ça au hasard ?

Inès : Non, j'ai utilisé le calcul suivant : \(\text{S}=\dfrac{16\times(d_0+d_{15})}{2}=\dfrac{16\times(20+42{,}5)}{2}=500\).

Baptiste : Tu sors une formule comme ça ? Elle vient d'où ?

Inès : Je ne la sors pas comme ça. Regarde :

\(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline d_0=20 &+&d_{15}=42{,}5&= & 62{,}5\\\hline d_1=21{,}5 &+&d_{14}=41&= & 62{,}5\\\hline d_2=23 &+&d_{13}=39{,}5&= & 62{,}5\\\hline \text{...} &+&...&= & 62{,}5\\\hline d_{14}=41 &+&d_{1}=21{,}5&= & 62{,}5\\\hline d_{15}=42{,}5 &+&d_{0}=20&= & 62{,}5 \\ \hline \end{array}\end{align*}\)

Baptiste : Ah oui ! La somme de deux termes disons « opposés » est toujours la même. Et il y a bien \(16\) termes, je comprends donc le \(\times 16\). Mais pourquoi il y a un \(2\) au dénominateur ?

Inès : Regarde, par exemple, la dernière ligne. Cette somme est la même que celle de la première ligne.

Baptiste : Ah oui bien sûr, donc tu divises par \(2\). Tu es trop forte !

La sonnerie retentit, Inès et Baptiste vont en cours.